Soal Relasi Rekurensi
1. Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 adalah…..
a. bn(h)= A1 (-3)n+ A2 . 2n
b. (a + 3) (a – 2)
c. bn(h) = 1/5 (-3)n +1/5 . 2n
d. b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20
Jawab:
bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0
= a2 + a- 2 = 0
= (a+ 2) (a- 1) = 0
a1 = -2 a2 = 1.
solusi homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n =>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . 1n
Batas b0= 0 dan b1= 1 , maka:
b0(h) = A1 (-2)0 + A2 . 10 => 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-2)1 + A2 . 11 => 1 = -2 A1 + A2 –
Eliminasi => 1 = 3A1
A1 = 1/3 lalu subtitusi nilai A1 kedalam persamaan b0 atau b1
0 = A1 + A2
0 = 1/3 + A2
A2 = -1/3
Maka A1 = 1/3 dan A2 =-1/3
Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah
bn(h) = 1/3(-2)n + 1/3. 1n
2. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 0…..
a. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
b. an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
c. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
d. an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
Jawab :
Relasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah a2 + 4 a + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Akar-akar karakteristik a1 = a2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:
an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
3. a – an-1 = 2n2,n 1, dan 0 = 9 Solusi Umumnya adalah…..
a) 5 + (n) (n+1)(4n+2)
b) 9 + (n) (n+1)(2n+1)
c) 2 + (n+2)(n)(n+2n)
d) 9 + (n)(n+1)(2n+1)
Jawab:
fn (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :
= A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)
= 9 + (n) (n+1)(2n+1)
4. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!……
a. 2n
b. 4n
c. n
d. 2
Jawab:
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2
= 23 Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
5. Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98…..
a. an= 7n (2) , n > 1
b. an= 7n (1) , n > 0
c. an= 7n , n > 2
d. an = 7n (2) , n > 0
Jawab:
Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :
a3 = 7 a2 = 7 (72 a0) = 73 a0 ……….dan seterusnya
sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah:
an= 7n (2) , n > 0
ikaanggraeni 